Годината е 1958. На заседание на Изпълнителния комитет на ОНС, гр. Велико Търново, проведено на 21 юли, е решено да се открие ново основно училище под наименованието „Трето основно училище „, считано от началото на учебната 1958 / 1959 година. В училището започват работа 8 учители в начален етап и 13 в прогимназиален.
През учебната 1961 / 1962 година Трето основно училище се премества в нова сграда – триетажна, намираща се днес между ул. „Освобождение“ и ул. „Елин Пелин“. Проектант на сградата е архитект Петър Матанов.
Училището приема името на великотърновския възрожденец и просветител
ПЕТКО РАЧЕВ СЛАВЕЙКОВ (17.11.1827 – 01.07.1895).
Изграден е нов, четвърти етаж, който влиза в експлоатация от учебната 1970/1971 година. Тогава е открит и училищен стол в отделна пристройка. Оформен е вътрешен училищен двор. Построен е втори физкултурен салон и са изградени специални помещения за лекарски кабинет, училищна библиотека и полудневна група.
През февруари 2020 г. екипът на ОУ «Петко Р. Славейков» внедри облачната платформа Google G Suite, която намира широко приложение в дигитализацията на училищния живот. Създадени са профили за педагогическия и непедагогическия персонал, както и за учениците от училището.
ОУ „Петко Р. Славейков“ във Велико Търново влезе в Списъка на иновативните училища в България за учебната 2021/2022 година. Одобрената иновация „Заедно в Гугъл за образованието – дигитализация на училищния живот“ е с фокус върху дигиталните науки, личностното развитие и проектно-базираното обучение.